5. Zadatak

Prvo rješenje.

Dijagonala baze je $d_1=a\sqrt2$, a duljina dijagonale pobočke $d_2=\sqrt{a^2+v^2}$.

Sada imamo $$\sin\frac\alpha2=\frac{d_1}{2d_2}=\frac{a\sqrt2}{2\sqrt{a^2+v^2}}$$ odakle kvadriranjem i sređivanjem dobivamo $$\begin{aligned} 2(a^2+v^2)\sin^2\frac\alpha2&=a^2,\\ a^2\left(1-2\sin^2\frac\alpha2\right)&=2v^2\sin^2\frac\alpha2,\\ a^2\cos\alpha&=2v^2\sin^2\frac\alpha2,\\ a&=\frac{v\sqrt2\sin\frac\alpha2}{\sqrt{\cos\alpha}}. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Dijagonala baze je $d_1=a\sqrt2$, a duljina dijagonale pobočke $d_2=\sqrt{a^2+v^2}$.

Primijenimo kosinusov poučak na označeni kut: $$\cos\alpha=\frac{d_2^2+d_2^2-d_1^2}{2d_2d_2},$$ tj. $2d_2^2\cos\alpha=2d_2^2-d_1^2$, odnosno $$\begin{aligned} 2(a^2+v^2)\cos\alpha&=2(a^2+v^2)-2a^2,\\ a^2&=\frac{v^2(1-\cos\alpha)}{\cos\alpha}, \end{aligned}$$ tj. $a=v\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}}$.