5. Zadatak

Prvi način.

Neka je $x$ broj koji je zbrojen dvaput. Tada vrijedi

$$\frac{n(n+1)}2+x=228,\qquad 1\le x\le n,$$

odnosno

$$n(n+1)+2x=456.$$

Budući da je $1\le x\le n$, slijedi

$$2\le456-n(n+1)\le2n.$$

Zato je

$$n^2+n\le454,\qquad n^2+3n\ge456.$$

Preoblikovanjem dobivamo

$$\left(n+\frac12\right)^2\le454+\frac14, \qquad \left(n+\frac32\right)^2\ge456+\frac94.$$

Odavde slijedi $19.9\le n\le20.9$, pa je $n=20$. Uvrštavanjem u početnu jednadžbu dobivamo $x=18$.

Drugi način.

Zbrojevi do 20 su

$$1,3,6,10,\ldots,153,171,190,210,231,\ldots.$$

Ako je $n\le19$, najveći mogući rezultat je $190+19=209$. Ako je $n\ge21$, najmanji mogući rezultat je $21\cdot11+1=232$. Zato mora biti $n=20$.

Tada je zbroj $1+2+\cdots+20=210$, pa je dvaput zbrojen broj

$$228-210=18.$$