6. Zadatak

Množenjem jednadžbe s nazivnicima dobivamo

$$(y+i)(1+i\sin\alpha) =(2018x+i)(1-i\sin3\alpha).$$

Uspoređivanjem realnog i imaginarnog dijela slijedi

$$y-\sin\alpha+i(1+y\sin\alpha) =2018x+\sin3\alpha+i(1-2018x\sin3\alpha).$$

Budući da je $y=-2018x$, iz imaginarnih dijelova dobivamo

$$1-2018x\sin\alpha=1-2018x\sin3\alpha.$$

Kako je $x\ne0$, slijedi

$$\sin\alpha=\sin3\alpha.$$

Rješenja tog uvjeta su

$$\alpha=k\pi \quad\text{ili}\quad \alpha=\frac\pi4+\frac{k\pi}2.$$

U zadanom intervalu kandidati su

$$\alpha\in\left\{\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\pi,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\right\}.$$

Iz realnih dijelova, uz $\sin\alpha=\sin3\alpha$, slijedi

$$y-\sin\alpha=2018x+\sin\alpha.$$

S obzirom na $y=-2018x$, dobivamo $y=\sin\alpha$. Za $\alpha=\pi$ dobili bismo $x=y=0$, što nije dopušteno.

Za $\alpha=\frac\pi4$ ili $\frac{3\pi}4$ vrijedi

$$y=\frac{\sqrt2}{2},\qquad x=-\frac{\sqrt2}{4036}.$$

Za $\alpha=\frac{5\pi}4$ ili $\frac{7\pi}4$ vrijedi

$$y=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad x=\frac{\sqrt2}{4036}.$$

Dakle, sva su rješenja

$$\left(-\frac{\sqrt2}{4036},\frac{\sqrt2}{2},\frac\pi4\right), \quad \left(-\frac{\sqrt2}{4036},\frac{\sqrt2}{2},\frac{3\pi}4\right),$$ $$\left(\frac{\sqrt2}{4036},-\frac{\sqrt2}{2},\frac{5\pi}4\right), \quad \left(\frac{\sqrt2}{4036},-\frac{\sqrt2}{2},\frac{7\pi}4\right).$$