7. Zadatak

Prema uvjetima zadatka vrijedi $|CD|=1$ i $\angle BC_1D=\varphi$. Zato je

$$|BD|=\sqrt2,\qquad |OD|=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Iz trokuta $OC_1D$ slijedi

$$|C_1D|=\frac{|OD|}{\sin(\varphi/2)} =\frac{\sqrt2}{2\sin(\varphi/2)}.$$

Iz trokuta $C_1CD$ dobivamo

$$|CC_1|^2=|C_1D|^2-|CD|^2 =\frac1{2\sin^2(\varphi/2)}-1.$$

Budući da je $\cos\varphi=\frac13$, vrijedi

$$\sin^2\frac\varphi2=\frac{1-\cos\varphi}{2}=\frac13,$$

pa je

$$|CC_1|=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Manji dio je piramida $BDC C_1$, pa je njezin obujam

$$V=\frac13P_{BDC}\cdot|CC_1| =\frac13\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{12}.$$

Nadalje je $|OC|=|CC_1|=\frac{\sqrt2}{2}$, pa je $|OC_1|=1$. Površine trokuta koji omeđuju manji dio su

$$P_{BDC}=\frac12,\qquad P_{DCC_1}=\frac{\sqrt2}{4},\qquad P_{BDC_1}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Zato je oplošje manjeg dijela

$$O=P_{BDC}+2P_{DCC_1}+P_{BDC_1} =\frac12+\sqrt2.$$