6. Zadatak

Neka je $|AB|=c$ i $\angle ATB=\varphi$. Tada je $|BC|=\frac c2$, $|AC|=\frac{c\sqrt3}{2}$.

Iz pravokutnog trokuta $ACD$ slijedi

$$t_a^2=\left(\frac{c\sqrt3}{2}\right)^2+\frac{c^2}{16}=\frac{13c^2}{16}, \qquad t_a=\frac{c\sqrt{13}}4.\qquad(*)$$

Iz pravokutnog trokuta $BCE$ slijedi

$$t_b^2=\left(\frac{c\sqrt3}{4}\right)^2+\frac{c^2}{4}=\frac{7c^2}{16}, \qquad t_b=\frac{c\sqrt7}{4}.\qquad(**)$$

Primijenimo li poučak o kosinusu na trokut $ATB$ dobivamo:

$$c^2=\left(\frac23t_a\right)^2+\left(\frac23t_b\right)^2 -2\cdot\frac23t_a\cdot\frac23t_b\cos\varphi.\qquad***$$

Uvrštavanjem $(*)$ i $(**)$ u $(***)$ dobivamo redom

$$c^2=\frac49\cdot\frac{13c^2}{16}+\frac49\cdot\frac{7c^2}{16} -2\cdot\frac49\cdot\frac{c\sqrt{13}}4\cdot\frac{c\sqrt7}4\cos\varphi$$ $$c^2=\frac59c^2-c^2\cdot\frac{\sqrt{91}}{18}\cos\varphi$$ $$\cos\varphi=-\frac8{\sqrt{91}}.$$

Tada je $P_{ABC}=\frac{c^2\sqrt3}{8}$ i

$$P_{ATB}=\frac12\cdot\frac23t_a\cdot\frac23t_b\sin\varphi =\frac29\cdot\frac{c\sqrt7}{4}\cdot\frac{c\sqrt{13}}4 \cdot\sqrt{1-\left(-\frac8{\sqrt{91}}\right)^2}$$ $$P_{ATB}=\frac{c^2\sqrt{91}}{72}\cdot\frac{3\sqrt3}{\sqrt{91}} =\frac{c^2\sqrt3}{24}.$$

Traženi omjer površina jednak je

$$\frac{P_{ABC}}{P_{ATB}} =\frac{\frac{c^2\sqrt3}{8}}{\frac{c^2\sqrt3}{24}} =\frac31.$$

Napomena: Ako učenik koristi činjenicu da težišnice dijele trokut na 6 trokuta jednakih površina, pa je traženi omjer $6:2$, odnosno $3:1$.