5. Zadatak

Prvo rješenje.

Izračunajmo ukupan broj kvadrata $k\times k$, $k\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ na ploči $8\times8$.

Kvadrata $1\times1$ ima 64.

Kvadrata $2\times2$ ima 49, jer prvi redak tog kvadrata s dva polja možemo smjestiti u prvi redak dane mreže na 7 načina, u drugi redak na 7 načina i tako dalje do sedmog retka, što je ukupno $7\cdot7$ načina.

Analognim zaključivanjem dobivamo da kvadrata $3\times3$ ima 36, kvadrata $4\times4$ ima 25, kvadrata $5\times5$ ima 16, kvadrata $6\times6$ ima 9, kvadrata $7\times7$ ima 4 i kvadrata $8\times8$ ima 1.

Dakle ukupan broj kvadrata je

$$1+4+9+16+25+36+49+64=204.$$

Prebrojimo koliko je takvih kvadrata koji sadrže obojeno polje. Kvadrata $1\times1$ ima 1.

Kvadrata $2\times2$ ima 4 jer njih možemo smjestiti tako da obojeno polje bude bilo koje od četiri polja tog kvadrata.

Kvadrate $3\times3$ možemo smjestiti tako da obojeno polje bude u prva dva retka i prva tri stupca takvog kvadrata, a to znači na 6 načina.

Isto vrijedi i za kvadrate $4\times4$, $5\times5$ i $6\times6$.

Kvadrata $7\times7$ ima 4 (jer obojeno polje može biti samo u 1. i 2. retku i 1. i 2. stupcu).

Kvadrata $8\times8$ očito ima samo 1.

Ukupno je $1+4+6+6+6+6+4+1=34$ kvadrata koji sadrže obojeno polje.

Tada onih koji ga ne sadrže ima ukupno $204-34=170$, pa je traženi omjer $\frac{34}{170}=\frac15$.

Drugo rješenje.

Ukupan broj kvadrata računamo kao i u prvom rješenju, ima ih 204.

Na sličan način (po retcima) prebrojavamo kvadrate koji ne sadrže obojeno polje i dobivamo sljedeće rezultate:

dimenzije	broj kvadrata koji ne sadrže obojeno polje
$1\times1$	$63$
$2\times2$	$2\cdot5+5\cdot7=45$
$3\times3$	$2\cdot3+4\cdot6=30$
$4\times4$	$2\cdot2+3\cdot5=19$
$5\times5$	$2\cdot1+2\cdot4=10$
$6\times6$	$2\cdot0+1\cdot3=3$
$7\times7$	$0$
$8\times8$	$0$
ukupno	$170$

Dakle ukupan broj kvadrata koji ne sadrže obojeno polje je $B=170$, a onih koji sadrže je $A=204-170=34$. Traženi omjer je $\frac{34}{170}=\frac15$.