3. Zadatak

Kvocijent geometrijskog niza je

$$q=\frac{\sin2x}{\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x.$$

Iz uvjeta $q\neq0$, odnosno $\sin x\neq0$ i $\sin2x\neq0$, slijedi

$$x\neq\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb Z.\qquad(*)$$

Neka je $a_3=\sin4x$. Tada zbog $a_3=a_2\cdot q$ slijedi

$$\sin4x=\sin2x\cdot2\cos x.$$

Rješavanjem dobivamo:

$$2\sin2x\cos2x=2\sin2x\cos x$$ $$2\sin2x(\cos2x-\cos x)=0$$ $$\sin2x=0\quad\text{ili}\quad\cos2x-\cos x=0.$$

Kako je zbog $(*)$ $\sin2x\neq0$,

slijedi $\cos2x=\cos x$, odakle je $2x=\pm x+2k\pi$.

Rješenja te jednadžbe su $x=2k\pi$ (ne zadovoljava $(*)$) i $x=\frac{2k\pi}{3}$.

Kako je $x\in\langle0,2\pi\rangle$, za $k=1$ i $k=2$ dobivamo tražena rješenja.

Treći član zadanoga niza je $\sin4x$ za

$$x\in\left\{\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\}.$$