1. Zadatak

Zapišimo lijevu stranu dane nejednadžbe u obliku

$$\frac{(9\cdot8!)^2(n!)^2-(8!)^2((n+1)\cdot n!)^2} {(9\cdot8!)^2(n!)^2-18\cdot(8!)^2n!\cdot(n+1)\cdot n!+(8!)^2((n+1)\cdot n!)^2}.$$

Ako brojnik i nazivnik podijelimo s $(8!n!)^2$ dobivamo

$$\frac{81-(n+1)^2}{81-18(n+1)+(n+1)^2}.$$

Uočimo u brojniku razliku kvadrata, a u nazivniku kvadrat razlike.

$$\frac{(9-(n+1))(9+(n+1))}{(9-(n+1))^2} = \frac{(8-n)(10+n)}{(8-n)^2}.$$

Nakon skraćivanja s $8-n$ (uz uvjet $n\neq8$), slijedi

$$\frac{10+n}{8-n}>0,$$

odnosno $8-n>0$ (brojnik je uvijek pozitivan).

Dakle $n<8$, pa je konačno rješenje $n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}$.