7. Zadatak

Zadane krivulje su parabola $y^2=2px$ i elipsa $x^2+4y^2=2p^2$.

Da bismo odredili površinu traženog trokuta, treba odrediti jednadžbe zajedničkih tangenata parabole i elipse. Njihova sjecišta s koordinatnim osima određuju vrhove $A$, $B$ i $C$ traženog trokuta.

Jednadžbu elipse možemo pisati u obliku

$$\frac{x^2}{2p^2}+\frac{y^2}{\frac{p^2}{2}}=1,$$

odakle je $a^2=2p^2$, $b^2=\frac{p^2}{2}$.

Koristimo uvjet da je pravac $y=kx+l$ tangenta parabole pa vrijedi $p=2kl$, te da je tangenta elipse pa vrijedi $k^2a^2+b^2=l^2$. Dakle, rješavamo sljedeći sustav jednadžbi (s nepoznanicama k i l)

$$p=2kl,\qquad k^2\cdot2p^2+\frac{p^2}{2}=l^2.$$

Ako iz prve jednadžbe izrazimo $l=\frac p{2k}$, tada slijedi $2p^2k^2+\frac{p^2}{2}=\frac{p^2}{4k^2}$, što nakon dijeljenja s $p^2$ i sređivanja daje bikvadratnu jednadžbu $8k^4+2k^2-1=0$. S obzirom da je $k$ realan broj, mora biti $k^2\geq0$, odnosno $k^2=\frac14$. Tada je $k=\pm\frac12$, a iz $p=2kl$ slijedi $l=\pm p$.

(Kako je $p$ pozitivan realni broj, $l$ i $k$ imaju isti predznak.)

Tada su jednadžbe tangenata

$$t_1\ldots\ y=\frac12x+p \qquad t_2\ldots\ y=-\frac12x-p.$$

Sjecišta tih tangenata s $y$ osi su redom točke $C(0,p)$ i $B(0,-p)$, a sjecište tangenata (i osi $x$) je točka $A(-2p,0)$.

Ako s $O$ označimo ishodište, tražena površina trokuta $ABC$ je

$$P=\frac{|AO|\cdot|BC|}{2}=\frac{2p\cdot2p}{2}=2p^2.$$