7. Zadatak

Odredimo prvo količnik $\frac zw$ i umnožak $z\cdot\overline w$.

$$\begin{aligned} \frac zw &=\frac{n^2+ni}{-3-i}\cdot\frac{-3+i}{-3+i}\\ &=\frac{-3n^2-3ni+n^2i-n}{10}\\ &=\frac{-3n^2-n}{10}+\frac{-3n+n^2}{10}i. \end{aligned}$$

Njegov realni dio je

$$\operatorname{Re}\left(\frac zw\right)=\frac{-3n^2-n}{10}.$$ $$z\cdot\overline w=(n^2+ni)\cdot(-3+i)=-3n^2-n+(-3n+n^2)i.$$

Njegov je imaginarni dio $\operatorname{Im}(z\cdot\overline w)=-3n+n^2$.

Treba riješiti sustav nejednadžbi

$$\begin{cases} \operatorname{Re}\left(\frac zw\right)<-0.4,\\ \operatorname{Im}(z\cdot\overline w)<4. \end{cases}$$

odnosno

$$\begin{cases} \dfrac{-3n^2-n}{10}< -\dfrac4{10},\\ -3n+n^2<4. \end{cases}$$

Nakon sređivanja imamo

$$\begin{cases} -3n^2-n+4<0,\\ n^2-3n-4<0. \end{cases}$$

Rješenje prve nejednadžbe su svi cijeli brojevi $n$ za koje vrijedi

$$n<-\frac43\quad\text{ili}\quad n>1.$$

Rješenje druge nejednadžbe su svi cijeli brojevi $n$ za koje je $-1<n<4$.

Presjek ovih skupova rješenja je skup $\{2,3\}$.

Prema tome, traženi kompleksni brojevi su $4+2i$ ili $9+3i$.