6. Zadatak

Treba riješiti sustav jednadžbi

$$\begin{cases} a+bc=2,\\ b+ac=2,\\ c+ab=2. \end{cases}$$

Oduzmimo prve dvije jednadžbe.

$$\begin{aligned} a-b+bc-ac&=0,\\ a-b-c(a-b)&=0,\\ (a-b)(1-c)&=0. \end{aligned}$$

Imamo dva slučaja: $a=b$ ili $c=1$.

1. slučaj

Ako je $a=b$, tada iz druge dvije jednadžbe sustava slijedi

$$a+ac=2,\qquad c+a^2=2.$$

Oduzimanjem jednadžbi dobivamo

$$a-c-a(a-c)=0 \quad\Longrightarrow\quad (a-c)(1-a)=0.$$

Ponovno imamo dva slučaja: $a=c$ ili $a=1$.

• Za $a=c$ iz prve jednadžbe sustava dobivamo

  $$a+a^2=2 \quad\Longrightarrow\quad a^2+a-2=0.$$

  Slijedi $a=1$ ili $a=-2$. Kako je $a=b=c$, slijedi $(a,b,c)=(1,1,1)$ ili $(a,b,c)=(-2,-2,-2)$.

• Za $a=1$, a tada i $b=1$, iz prve jednadžbe sustava slijedi

  $$1+c=2\quad\Longrightarrow\quad c=1,$$

  što daje isto rješenje $(a,b,c)=(1,1,1)$.

2. slučaj

Ako je $c=1$, iz druge dvije jednadžbe sustava slijedi

$$a+b=2,\qquad 1+ab=2,$$

što vodi na kvadratnu jednadžbu $a^2-2a+1=0$, s rješenjem $a=1$. Slijedi da je $b=1$ pa ponovno dobivamo rješenje $(a,b,c)=(1,1,1)$.

Jedina rješenja su $(1,1,1)$ i $(-2,-2,-2)$.