7. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da je $|AC|$ kraća kateta pravokutnog trokuta. Vrhom $A$ položimo pravac koji pravac $CD$ siječe u točki $E$ tako da je kut $\angle CAE$ pravi kut.

Trokut $CAE$ je pravokutan pa redom slijedi:

$$\cos30^\circ=\frac{|CA|}{|CE|},$$

odnosno

$$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{|CE|}$$

pa je $|CE|=2$, pa prema Pitagorinu poučku slijedi $|AE|=1$.

(isto se može izračunati i ako se trokut $CAE$ gleda kao pola jednakostraničnog trokuta)

Trokuti $ADE$ i $CDB$ su slični jer imaju dva ista kuta: $\angle CDB=\angle ADE$ jer su to vršni kutovi, $\angle DAE=\angle CBD$ jer su to kutovi s paralelnim kracima.

Tada je:

$$|AE|:|BC|=|AD|:|DB|=1:2\Rightarrow|BC|=2.$$

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ABC$ dobivamo da je duljina hipotenuze

$$|AB|=\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt7.$$

Drugo rješenje.

Povucimo paralelu s kraćom katetom kroz točku $D$ (tj. okomicu na $BC$):

Trokuti $ABC$ i $DBE$ su slični prema poučku KK jer je $\angle DEB=\angle ACB=90^\circ$, a kut u vrhu $B$ im je zajednički kut.

Tada je

$$|ED|:|CA|=|BD|:|BA|=2:3$$

pa je $|ED|=\dfrac{2\sqrt3}{3}$.

Trokut $DEC$ je pravokutan, $\angle DCE=60^\circ$, $\angle CDE=30^\circ$ pa redom slijedi:

$$\operatorname{tg}30^\circ=\frac{|CE|}{|ED|},$$ $$|CE|=\operatorname{tg}30^\circ\cdot|ED|=\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{2\sqrt3}{3}=\frac23.$$

Budući da je $|BE|:|EC|=2:1$ (iz sličnosti trokuta $ABC$ i $DBE$), slijedi

$$|BE|=\frac43, \qquad |BC|=\frac23+\frac43=2.$$

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ABC$ dobivamo da je duljina hipotenuze

$$|AB|=\sqrt{2^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt7.$$