5. Zadatak

Neka je duljina stranice šesterokuta $a$, a duljina stranice trokuta $b$.

Ukupan opseg svih šesterokuta je $3\cdot6a$. Ukupan opseg svih jednakostraničnih trokuta je $3\cdot3b$. Tada je

$$18a+9b=450,$$

$b=50-2a$ ako metre pretvorimo u centimetre. (u protivnom $b=0.5-2a$)

Kako je

$$P_{\text{šesterokuta}}=6\frac{a^2\sqrt3}{4}, \qquad P_{\text{trokuta}}=\frac{b^2\sqrt3}{4},$$

ukupna je površina jednaka

$$\begin{aligned} P&=3\cdot6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3\frac{(50-2a)^2\sqrt3}{4}\\ &=9\cdot\frac{a^2\sqrt3}{2}+3(625-50a+a^2)\sqrt3, \end{aligned}$$

odnosno

$$P=\frac{15}{2}a^2\sqrt3-150a\sqrt3+1875\sqrt3 =\frac{15\sqrt3}{2}(a^2-20a+250).$$

Prikazali smo ukupnu površinu kao kvadratnu funkciju po varijabli $a$.

Treba odrediti broj $a$ za koji funkcija postiže svoju minimalnu vrijednost, a to je apscisa tjemena grafa te funkcije $-\dfrac{b}{2a}$, odnosno

$$a_0=\frac{20}{2}=10.$$

Tada su tražene duljine jednake $a=10\text{ cm}$, $b=30\text{ cm}$ (ili $a=0.1\text{ m}$, $b=0.3\text{ m}$).