6. Zadatak

Prvo rješenje.

Da bi sustav imao rješenje mora vrijediti: $x^2+2x\ne0$, $4y^2+3y\ne0$, odnosno

$$x(x+2)\ne0, \qquad y(4y+3)\ne0,$$

pa je $x\ne0$, $x\ne-2$, $y\ne0$, $y\ne-\dfrac34$.

Uvođenjem supstitucije

$$u=\frac{1}{x^2+2x}, \qquad v=\frac{1}{4y^2+3y}$$

dobivamo sustav

$$\begin{aligned} u-v&=-\frac23,\\ 3u+2v&=3 \end{aligned}$$

čije rješenje je $u=\dfrac13$, $v=1$.

Iz $\dfrac{1}{x^2+2x}=\dfrac13$ slijedi jednadžba $x^2+2x-3=0$ kojoj su rješenja $x=-3$ i $x=1$.

Iz $\dfrac{1}{4y^2+3y}=1$ slijedi jednadžba $4y^2+3y-1=0$ kojoj su rješenja $y=-1$ i $y=\dfrac14$.

Rješenja sustava su uređeni parovi

$$(-3,-1),\quad\left(-3,\frac14\right),\quad(1,-1),\quad\left(1,\frac14\right).$$

Drugo rješenje.

Da bi sustav imao rješenje mora vrijediti: $x^2+2x\ne0$, $4y^2+3y\ne0$, odnosno

$$x(x+2)\ne0, \qquad y(4y+3)\ne0,$$

pa je $x\ne0$, $x\ne-2$, $y\ne0$, $y\ne-\dfrac34$.

Pomnožimo prvu jednadžbu s $2$ i zbrojimo jednadžbe. Slijedi:

$$\frac5{x^2+2x}=\frac53.$$

Iz ovog izraza slijedi jednadžba $x^2+2x-3=0$ kojoj su rješenja $x=-3$ i $x=1$.

Uvrštavanjem $x=-3$ ili $x=1$ u bilo koju od polaznih jednadžbi dobiva se

$$\frac{1}{4y^2+3y}=1.$$

Iz ovog izraza slijedi jednadžba $4y^2+3y-1=0$ kojoj su rješenja $y=-1$ i $y=\dfrac14$.

Rješenja sustava su uređeni parovi

$$(-3,-1),\quad\left(-3,\frac14\right),\quad(1,-1),\quad\left(1,\frac14\right).$$