1. Zadatak

Zapišimo danu nejednadžbu u pogodnijem obliku.

$$\begin{aligned} \frac{|z|-16}{1-|z|}&\ge2,\\ \frac{|z|-16}{1-|z|}-2&\ge0,\\ \frac{3(|z|-6)}{1-|z|}&\ge0. \end{aligned}$$

Rješenje ove nejednadžbe je ekvivalentno rješenju kvadratne nejednadžbe

$$(|z|-6)(1-|z|)\ge0$$

uz uvjet $|z|\ne1$, a njezino je rješenje interval $\langle1,6]$. Vrijedi $1<|z|\le6$, odnosno rješenje nejednadžbe su sve točke unutar kružnog vijenca kojemu su polumjeri 1 i 6. Treba još samo prebrojiti koliko točaka tog kružnog vijenca s cjelobrojnim koordinatama pripada prvom i trećem kvadrantu.

Dovoljno je prebrojati točke $(a,b)$, za koje vrijedi $a,b\in\mathbb N\cup\{0\}$ i $1<a^2+b^2\le36$.

Ako je $a=0$ tada je $b^2\le36$, odnosno $b\in\{2,3,4,5,6\}$, što daje ukupno 5 točaka.

Ako je $a=1$ tada je $b^2\le35$, odnosno $b\in\{1,2,3,4,5\}$, što daje ukupno 5 točaka.

Ako je $a=2$ tada je $b^2\le32$, odnosno $b\in\{0,1,2,3,4,5\}$, što daje ukupno 6 točaka.

Ako je $a=3$ tada je $b^2\le27$, odnosno $b\in\{0,1,2,3,4,5\}$, što daje ukupno 6 točaka.

Ako je $a=4$ tada je $b^2\le20$, odnosno $b\in\{0,1,2,3,4\}$, što daje ukupno 5 točaka.

Ako je $a=5$ tada je $b^2\le11$, odnosno $b\in\{0,1,2,3\}$, što daje ukupno 4 točke.

Ako je $a=6$ tada je $b^2\le0$, odnosno $b=0$, dakle 1 točka.

Ukupno imamo $2\cdot(5+5+6+6+5+4+1)=64$ točke, odnosno 64 kompleksna broja s danim svojstvima.