4. Zadatak

Uvedimo oznake kao na slici, $|AE|=m$ i $|EF|=x$.

Polumjer kruga upisanog kvadratu je $R=\frac x2$, a polumjeri krugova upisanih pravokutnim trokutima su

$$r=\frac{10-m+m-x}{2}=\frac{10-x}{2}$$

(po formuli $r=\frac{a+b-c}{2}$, pri čemu su $a,b$ katete pravokutnog trokuta a $c$ hipotenuza).

Dakle, želimo da izraz

$$P=\left(\frac x2\right)^2\pi+4\left(\frac{10-x}{2}\right)^2\pi=\frac{5\pi}{4}(x^2-16x+80)$$

bude najmanji.

Kako je $P=\frac{5\pi}{4}(x^2-16x+80)$ kvadratna funkcija, minimum će se ostvariti u apscisi tjemena, odnosno za

$$x=\frac{-(-16)}{2}=8.$$

Iz jednog od trokuta prema Pitagorinom poučku slijedi

$$m^2+(10-m)^2=8^2,$$ $$2m^2-20m+36=0,$$ $$\Longrightarrow\quad m_1=5-\sqrt7,\qquad m_2=5+\sqrt7.$$

Kako je $m_1\approx2.35$ i $m_2\approx7.65$, oba rješenja mogu predstavljati duljinu tražene dužine $\overline{AE}$.