5. Zadatak

Treba odrediti sve parove prirodnih brojeva $m$ i $n$, koji zadovoljavaju jednakost

$$1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4+\ldots+1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n=m^2.$$

Za $n>4$ svaki od pribrojnika $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n$ sadrži barem jedan paran broj i barem jedan broj djeljiv s 5, što znači da ti pribrojnici imaju zadnju znamenku jednaku nuli.

Kako je $1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4=33$, to za $n>4$ zbroj na lijevoj strani završava znamenkom 3. Kako kvadrati prirodnih brojeva završavaju jednom od znamenaka 0, 1, 4, 5, 6 ili 9, zaključujemo da za $n>4$ ne postoje parovi prirodnih brojeva $n$ i $m$ koji zadovoljavaju danu jednakost.

Treba još provjeriti slučajeve kad je $n\le4$.

Ako je $n=1$, slijedi $1=1$ i odgovarajući par je $(1,1)$.

Ako je $n=2$, slijedi $1+1\cdot2=3$ pa u skupu $\mathbb N$ nema rješenja.

Ako je $n=3$, slijedi $1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3=9$ i odgovarajući par je $(3,3)$.

Ako je $n=4$, slijedi $1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4=33$ pa u skupu $\mathbb N$ nema rješenja.

Dakle dva su uređena para rješenje: $(n,m)\in\{(1,1),(3,3)\}$.