4. Zadatak

Danu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$(a-2b)(a+2b-1)=2^{2022},$$

odakle slijedi da je $a+2b-1=2^x$ i $a-2b=2^y$, pri čemu su $x$ i $y$ nenegativni cijeli brojevi.

Nadalje, kako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, očito je $a+2b-1>a-2b$, tj. $x>y\geq0$.

Nadalje, kako je $2^x+2^y=a+2b-1+a-2b=2a-1$ neparan broj mora vrijediti $y=0$, tj. $a-2b=1$.

Iz $y=0$ slijedi da je $x=2022$.

Dakle, dobivamo sustav

$$\begin{cases} a+2b-1=2^{2022},\\ a-2b=1. \end{cases}$$

Rješavanjem dobivenog sustava nalazimo $a=2^{2021}+1$ i $b=2^{2020}$.