5. Zadatak

Povucimo paralelu s krakom $BC$ kroz vrh $D$ (ili s krakom $AD$ kroz vrh $C$). Presjek te paralele i veće osnovice označimo s $E$. Tada je

$$|DE|=b,\qquad |AE|=a-c=8,\qquad\angle ADE=\alpha.$$

Iz trokuta $AED$ prema poučku o kosinusu dobivamo vezu između duljina krakova trapeza $b$ i $d$:

$$(a-c)^2=b^2+d^2-2bd\cos\alpha,$$ $$64=b^2+d^2-2bd\cdot\frac45.\tag{*}$$

Ako sjecište dijagonala, točka $S$, dijeli dijagonale na dijelove duljina $k,l,m,n$ kao na slici tada prema Pitagorinom poučku vrijedi: $a^2=k^2+n^2$ i $c^2=l^2+m^2$. Zbrajanjem ovih jednakosti slijedi

$$a^2+c^2=k^2+l^2+m^2+n^2.$$

Analogno iz $b^2=l^2+n^2$ i $d^2=k^2+m^2$ dobivamo

$$b^2+d^2=k^2+l^2+m^2+n^2.$$

Tada je $b^2+d^2=a^2+c^2=160$ pa iz jednakosti $(*)$ dobivamo

$$bd=\frac{160-64}{\frac85}=60.$$

Iz izraza za površinu trokuta $AED$,

$$P=\frac{(a-c)v}{2}=\frac{bd\sin\alpha}{2}$$

i

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35$$

dobivamo

$$v=\frac{bd\sin\alpha}{a-c}=\frac{60\cdot\frac35}{8}=\frac92.$$

Konačno, površina trapeza je

$$P=\frac{a+c}{2}v=\frac{16}{2}\cdot\frac92=36.$$