2. Zadatak

Prema uvjetu iz zadatka vrijedi $a+b=42$, gdje je $a$ broj plesača u prvoj, a $b$ broj plesača u drugoj skupini.

Ukupan broj plesova u paru formiranih od svih $a$ plesača iz prve skupine je $\frac{a(a-1)}2$, a ukupan broj plesova u paru od svih $b$ plesača iz druge skupine je $\frac{b(b-1)}2$. Tada je

$$\frac{a(a-1)}2+\frac{b(b-1)}2=421,$$

odnosno $a^2+b^2-(a+b)=842$. Ako uvrstimo $b=42-a$ dobivamo $a^2+(42-a)^2-42=842$, a nakon sređivanja kvadratnu jednadžbu $a^2-42a+440=0$ čija su rješenja $20$ i $22$.

Dakle, u jednoj plesnoj skupini ima $20$ članova, u drugoj $22$ ili obratno.

Odatle je očito da mješovitih plesnih parova ima maksimalno $20$, a možemo ih odabrati tako da prvo odaberemo $20$ od $22$ plesača druge skupine na

$$\binom{22}{20}=\binom{22}{2}=\frac{22\cdot21}{2}=231$$

način, a zatim ih rasporedimo na $20$ plesača iz prve skupine i to na $20!$ načina.

Dakle, ukupno je mogućnosti $\binom{22}{20}\cdot20!=231\cdot20!$ načina.