1. Zadatak

Korištenjem svojstava logaritama funkciju $f(x)=\log_2^4x+12\log_2^2x\cdot\log_2\frac8x$ možemo zapisati u obliku

$$\begin{aligned} f(x)&=\log_2^4x+12\log_2^2x(\log_28-\log_2x)\\ &=\log_2^4x+36\log_2^2x-12\log_2^3x\\ &=(\log_2^2x-6\log_2x)^2. \end{aligned}$$

Iz $x\in[1,64]$ i $\log_2x$ je rastuća funkcija, slijedi da je $\log_2x\in[\log_21,\log_264]=[0,6]$. Stoga je dovoljno promatrati funkciju $g(t)=t^2-6t$ na intervalu $[0,6]$.

Funkcija $g$ je kvadratna funkcija koja postiže minimalnu vrijednost $-9$ za $t=3$.

Uočimo da su $0$ i $6$ nultočke funkcije $g$. Prema tome na intervalu $[0,6]$ funkcija $g$ poprima sve vrijednosti iz intervala $[-9,0]$. Za te vrijednosti od $g$ funkcija $g^2$ poprima sve vrijednosti iz intervala $[0,81]$ i najveća joj je vrijednost $81$ koju postiže za $g(t)=-9$, odnosno za $t=3$.

Zaključujemo da funkcija $f=g^2$ na intervalu $[1,64]$ ima najveću vrijednost $81$ koju postiže za $x$ takav da je $\log_2x=3$, odnosno za $x=8$.