7. Zadatak

Neka je $x$ površina trokuta $CEF$, a $y$ površina trokuta $CFD$.

Trokuti $AFB$ i $FBD$ imaju zajedničku visinu iz vrha $B$, a budući da imaju iste površine imaju i iste duljine osnovica na koju je spuštena ta visina.

Dakle, vrijedi $|AF|=|FD|$.

To znači da trokuti $AFC$ i $FDC$ imaju iste osnovice na koje je spuštena zajednička visina iz vrha $C$, pa imaju iste površine, odnosno:

$$y=x+7. \tag{*}$$

Uočimo da trokuti $AFE$ i $AFB$ imaju zajedničku visinu iz vrha $A$, što znači da je omjer njihovih površina jednak omjeru duljina osnovica $EF$ i $FB$:

$$\frac{|EF|}{|FB|}=\frac{7}{13}.$$

S druge strane, trokuti $EFC$ i $FBC$ imaju zajedničku visinu na te iste osnovice pa je omjer njihovih površina jednak omjeru duljina tih osnovica. Vrijedi:

$$\frac{x}{y+13}=\frac{7}{13},$$

što zajedno s (*) daje

$$\frac{x}{x+20}=\frac{7}{13},$$

odnosno $13x=7x+140\Rightarrow 6x=140$, te su površine

$$x=\frac{70}{3} \qquad\text{i}\qquad y=\frac{70}{3}+7=\frac{91}{3}.$$