3. Zadatak

Najmanji prirodni broj koji pri dijeljenju s 5 daje ostatak 2 jest 2, a najveći 2017. Skup svih brojeva manjih od 2021 koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 2 jest

$$A=\{2,7,12,17,\ldots,2017\}.$$

Općenito su to brojevi oblika $5k+2$, $k\in\{0,1,2,\ldots\}$.

U skupu $A$ prvi broj dobijemo za $k=0$, a zadnji za $k=403$ pa je ukupno $403+1=404$ broja u tomu skupu.

Njihova je aritmetička sredina jednaka

$$\frac{2+7+12+\cdots+2017}{404}.$$

Ako je $S$ zbroj brojeva u brojniku, tada je

$$\begin{aligned} S&=2+7+12+\cdots+2012+2017\\ S&=2017+2012+\cdots+7+2\\ \hline 2S&=2019+2019+\cdots+2019. \end{aligned}$$

Slijedi da je $2S=404\cdot 2019$, tj. $S=202\cdot 2019$.

Dakle, tražena aritmetička sredina je broj

$$\frac{2+7+12+\cdots+2017}{404} =\frac{2019}{2}=1009.5.$$

Napomena:

Učenik može zaključiti (bez formalnog dokaza) da je aritmetička sredina brojeva koji se međusobno razlikuju za isti broj, u ovom slučaju za $5$, jednaka aritmetičkoj sredini prvog i zadnjeg broja u tomu nizu.

Primjerice: Aritmetička sredina brojeva $a$ i $b$ jednako je udaljena od broja $a$ i broja $b$, pa ako su svi brojevi između $a$ i $b$ (uključujući $a$ i $b$) jednako razmaknuti, aritmetička sredina svih brojeva u tome nizu jednaka je aritmetičkoj sredini brojeva $a$ i $b$.