6. Zadatak

Jednakost $\operatorname{tg}(2\pi\sin^2 2\pi x)=0$ vrijedi ako je $2\pi\sin^2 2\pi x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, odnosno

$$\sin^2 2\pi x=\frac{k}{2},$$

pri čemu zbog vrijednosti funkcije sinus, može biti $k=0$, $k=1$, $k=2$.

Ako je $k=0$, onda je $\sin^2 2\pi x=0$, odnosno $\sin 2\pi x=0$ pa dobijemo

$$2\pi x=l\pi,\qquad l\in\mathbb{Z}.$$

Slijedi

$$x_1=\frac{l}{2},\qquad l\in\mathbb{Z}.$$

Ako je $k=1$, onda je $\sin^2 2\pi x=\frac12$, odnosno $\sin 2\pi x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$, pa dobijemo

$$2\pi x=\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2},\qquad m\in\mathbb{Z}.$$

Slijedi

$$x_2=\frac18+\frac{m}{4},\qquad m\in\mathbb{Z}.$$

Ako je $k=2$, onda je $\sin^2 2\pi x=1$, odnosno $\sin 2\pi x=\pm1$, pa dobijemo

$$2\pi x=\frac{\pi}{2}+\frac{n\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Slijedi

$$x_3=\frac14+\frac{n}{4},\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Odredimo tražene brojeve iz intervala $[0,1]$.

Iz $x_1$ dobivamo brojeve $0,\frac12,1$, iz $x_2$ brojeve $\frac18,\frac38,\frac58,\frac78$, a iz $x_3$ brojeve $\frac14,\frac34$.

Konačno,

$$x\in\left\{0,\frac18,\frac14,\frac38,\frac12,\frac58,\frac34,\frac78,1\right\}.$$