7. Zadatak

Promotrimo trokut $ABC$. Primjenom poučka o kosinusu slijedi

$$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2\cdot|AB|\cdot|BC|\cos\angle ABC=12+9-2\cdot2\sqrt3\cdot3\cdot\cos30^\circ=3.$$

Dakle, $|AC|=\sqrt3$.

Primjenom poučka o sinusima izračunamo $\angle CAB$.

$$\frac{|BC|}{\sin\angle CAB}=\frac{|AC|}{\sin\angle ABC}$$

pa je

$$\sin\angle CAB=\frac{3\cdot\frac12}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Slijedi: $\angle CAB=60^\circ$ ili $120^\circ$.

Slučaj $\angle CAB=120^\circ$ nije moguć jer je četverokut $ABCD$ konveksan pa mora biti $\angle CAB<\angle DAB=90^\circ$. Dakle, $\angle CAB=60^\circ$.

Nadalje,

$$\angle DAC=90^\circ-\angle CAB=30^\circ.$$

Primijetimo da je

$$\angle BCA=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ.$$

Promotrimo trokut $ACD$. Primjenom poučka o sinusima slijedi

$$\frac{|AC|}{\sin\angle CDA}=\frac{|CD|}{\sin\angle DAC},$$

pa je

$$\sin\angle CDA=\frac{\sqrt3\cdot\frac12}{1}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Slijedi: $\angle CDA=60^\circ$ ili $\angle CDA=120^\circ$.

Prvi slučaj nije moguć jer bi tada vrijedilo $\angle BCD=360^\circ-60^\circ-90^\circ-30^\circ=180^\circ$.

Dakle, $\angle CDA=120^\circ$.

Nadalje, $\angle ACD=180^\circ-\angle DAC-\angle CDA=30^\circ$ pa je trokut $ACD$ jednakokračan što znači da je $|AD|=|CD|=1$.

Još je potrebno izračunati mjeru kuta $\angle BCD$.

$$\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD=90^\circ+30^\circ=120^\circ.$$