6. Zadatak

Prvo rješenje. Za dani pravokutan trokut vrijedi $a^2+b^2=c^2$.

Za kut $\alpha$ nasuprot stranici duljine $a$ uvrštavanjem u danu jednakost dobivamo:

$$\begin{aligned}4ab&=\sqrt3a^2+\sqrt3b^2\qquad/:b^2\\4\frac ab&=\sqrt3\left(\frac ab\right)^2+\sqrt3\\\sqrt3\operatorname{tg}^2\alpha-4\operatorname{tg}\alpha+\sqrt3&=0.\end{aligned}$$

Odavde dobivamo:

$$\operatorname{tg}\alpha_1=\sqrt3\quad\text{tj.}\quad\alpha_1=60^\circ,\ \beta_1=30^\circ\quad\text{ili}$$ $$\operatorname{tg}\alpha_2=\frac{\sqrt3}3\quad\text{tj.}\quad\alpha_2=30^\circ,\ \beta_2=60^\circ.$$

Šiljasti kutovi tog trokuta su $30^\circ$ i $60^\circ$.

Drugo rješenje. Iz dane jednakosti dobivamo:

$$\begin{aligned}4ab&=c^2\sqrt3\qquad/:c^2\\4\cdot\frac ac\cdot\frac bc&=\sqrt3\\4\sin\alpha\cos\alpha&=\sqrt3\quad\text{tj.}\quad\sin2\alpha=\frac{\sqrt3}2.\end{aligned}$$

Odavde slijedi $2\alpha=60^\circ$ ili $2\alpha=120^\circ$ tj. $\alpha=30^\circ$ ili $\alpha=60^\circ$, odnosno $\beta=60^\circ$ ili $\beta=30^\circ$.

Treće rješenje. Iz $a=c\sin\alpha$, $b=c\cos\alpha$ i dane jednakosti imamo

$$\begin{aligned}4\cdot c\sin\alpha\cdot c\cos\alpha&=c^2\sqrt3\qquad/:2c^2\\2\sin\alpha\cos\alpha&=\frac{\sqrt3}2\end{aligned}$$

odnosno $\sin2\alpha=\dfrac{\sqrt3}2$.

Kutovi traženog trokuta su $30^\circ$ i $60^\circ$.