8. Zadatak

Prvo rješenje. Simetrala pravog kuta siječe hipotenuzu u točki $D$. Označimo s $s$ duljinu odsječka simetrale pravog kuta unutar trokuta.

Promatrajmo trokute $ABC$ i $ADC$:

$$\cos15^\circ=\frac bc\quad\text{tj.}\quad b=c\cos15^\circ=15\cos15^\circ;$$ $$\frac bs=\frac{\sin(180^\circ-(45^\circ+15^\circ))}{\sin15^\circ}=\frac{\sin120^\circ}{\sin15^\circ}=\frac{\sin60^\circ}{\sin15^\circ}=\frac{\sqrt3}{2\sin15^\circ},$$

odakle dobivamo

$$s=\frac{2b\sin15^\circ}{\sqrt3}=\frac{2\cdot15\cdot\cos15^\circ\sin15^\circ}{\sqrt3}=\frac{15\cdot\sin30^\circ}{\sqrt3}=\frac{15}{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}2.$$

Duljina odsječka simetrale pravog kuta je $s=\dfrac{5\sqrt3}2$ cm.

Drugo rješenje. Kako je $s$ simetrala pravog kuta, površina trokuta $ABC$ jednaka je zbroju površina trokuta $ADC$ i $BDC$, pa imamo

$$P=\frac{sa\sin45^\circ+sb\sin45^\circ}2=\frac{s(a+b)\sqrt2}4,$$

odavde je

$$s=\frac{4P}{(a+b)\sqrt2}=\frac{2ab}{(a+b)\sqrt2}.$$

Iz $a=c\sin15^\circ$ i $b=c\cos15^\circ$ dobivamo

$$2ab=2c^2\sin15^\circ\cos15^\circ=c^2\sin30^\circ=\frac{c^2}2.$$

Nadalje,

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab=\frac32c^2\quad\text{tj.}\quad a+b=c\sqrt{\frac32}.$$

Konačno je

$$s=\frac{\dfrac{c^2}2}{c\sqrt{\dfrac32}\cdot\sqrt2}=\frac c{2\sqrt3}=\frac{c\sqrt3}6.$$

Duljina odsječka simetrale pravog kuta je $s=\dfrac{5\sqrt3}2$ cm.

Treće rješenje. Odrezak simetrale pravog kuta unutar trokuta je dijagonala kvadrata $CFDE$ stranice duljine $x$. Tada je tražena duljina $s=x\sqrt2$.

Iz trokuta $ADF$ i $DBE$ dobivamo $c_1=\dfrac x{\sin15^\circ}$, $c_2=\dfrac x{\cos15^\circ}$ i

$$c_1+c_2=c=15=x\cdot\left(\frac1{\sin15^\circ}+\frac1{\cos15^\circ}\right)=\frac{x\cdot(\sin15^\circ+\cos15^\circ)}{\sin15^\circ\cos15^\circ}.$$

Pomnožimo li ovo sa $2\sin15^\circ\cos15^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12$ dobivamo

$$2x\cdot(\sin15^\circ+\cos15^\circ)=\frac{15}2.$$

Kvadriranjem slijedi

$$4x^2(1+\sin30^\circ)=\frac{225}4$$

odakle imamo

$$x^2=\frac{\dfrac{225}4}{4\cdot\dfrac32}=\frac{225}{16}\cdot\frac23.$$

Konačno je $x=\dfrac{15}4\cdot\sqrt{\dfrac23}$ i $s=\dfrac{15}4\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\cdot\sqrt2=\dfrac{5\sqrt3}2$.