6. Zadatak

Ako je kut između dijagonala $\alpha$, površina je

$$P=4\cdot\frac{(d/2)(d/2)\sin\alpha}{2} =\frac12d^2\sin\alpha=12,$$

pa je

$$d^2\sin\alpha=24. \tag{1}$$

Ako je kut između dijagonala $\alpha/2$, površina je

$$P_1=\frac12d^2\sin\frac{\alpha}{2}=7.5,$$

odakle je

$$d^2\sin\frac{\alpha}{2}=15. \tag{2}$$

Podijelimo li jednadžbe (1) i (2), dobivamo

$$\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha/2)}=\frac85.$$

Kako je $\sin\alpha=2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, slijedi

$$2\cos\frac{\alpha}{2}=\frac85, \qquad \cos\frac{\alpha}{2}=\frac45.$$

Tada je $\sin(\alpha/2)=\frac35$, pa iz (2) dobivamo

$$d^2=\frac{15}{\sin(\alpha/2)} =\frac{15}{3/5}=25, \qquad d=5\ \mathrm{cm}.$$

Napomena: Površina pravokutnika može se izračunati i pomoću duljina stranica pravokutnika $a,b$:

$$a=d\cos\frac{\alpha}{2},\qquad b=d\sin\frac{\alpha}{2},$$

pa je

$$P=a\cdot b=d\cos\frac{\alpha}{2}\cdot d\sin\frac{\alpha}{2} =\frac12d^2\sin\alpha.$$