7. Zadatak

Logaritmiranjem po bazi 2 danih jednadžbi, dani sustav prelazi u

$$\log_2x=\frac4{1+\log_2z},\qquad \log_2y=\frac4{1+\log_2x},\qquad \log_2z=\frac9{1+\log_2y},$$

gdje su $x,y,z$ pozitivni realni brojevi različiti od $\frac12$.

Nakon uvođenja supstitucije $a=\log_2x,\ b=\log_2y,\ c=\log_2z$, sustav prelazi u

$$a=\frac4{1+c},\qquad b=\frac4{1+a},\qquad c=\frac9{1+b}.$$

Ako iz prve jednadžbe $a$ uvrstimo u drugu jednadžbu, sustav svodimo na dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:

$$b\left(1+\frac4{1+c}\right)=4,\qquad c=\frac9{1+b}.$$

Nakon sređivanja dobivamo

$$\begin{cases} \dfrac{b(5+c)}{1+c}=4,\\ 1+b=\dfrac9c, \end{cases} \qquad\text{ili}\qquad b=\frac{4(1+c)}{5+c},\qquad b=\frac9c-1.$$

Slijedi jednadžba

$$\frac{4(1+c)}{5+c}=\frac9c-1.$$

Odatle dobivamo $c^2=9$, odnosno $c_1=3,\ c_2=-3$.

Iz prvog rješenja $a_1=1,\ b_1=2,\ c_1=3$ slijedi

$$\log_2x=1,\qquad\log_2y=2,\qquad\log_2z=3,$$

odnosno

$$x_1=2,\qquad y_1=4,\qquad z_1=8.$$

Iz drugog rješenja $a_2=-2,\ b_2=-4,\ c_2=-3$ slijedi

$$\log_2x=-2,\qquad\log_2y=-4,\qquad\log_2z=-3,$$

odnosno

$$x_2=\frac14,\qquad y_2=\frac1{16},\qquad z_2=\frac18.$$