5. Zadatak

Neka je dvoznamenkasti broj $\overline{xy}=10x+y$. Tada vrijedi

$$x+y+(x+y)^2=10x+y,\qquad x\ne0.$$

Odavde je

$$(x+y)^2=9x.$$

Dakle, umnožak prve znamenke i broja $9$ je kvadrat zbroja znamenaka.

Lako ćemo ispisati sve umnoške broja $9$ s $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ i provjeriti koji su od njih kvadrati prirodnih brojeva. Kvadrati se dobiju za $x=1$, $x=4$ i $x=9$.

$$9\cdot1=9,\qquad 9\cdot4=36,\qquad 9\cdot9=81.$$

Tada za $x=1$ iz $(x+y)^2=9x$ slijedi $y=2$, a $\overline{xy}=12$. Analogno se dobije za $x=4$, $\overline{xy}=42$ i za $x=9$, $\overline{xy}=90$.

Traženi dvoznamenkasti brojevi su: $12$, $42$ i $90$.