6. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo diralište tangente i elipse s $T(x_0,y_0)$. Jednadžba tangente je

$$x_0x+4y_0y=20.$$

Sjecišta tangente s koordinatnim osima su točke

$$A\left(\frac{20}{x_0},0\right) \qquad\text{i}\qquad B\left(0,\frac5{y_0}\right).$$

Točka $T$ je i polovište dužine $AB$, pa vrijedi

$$x_0=\frac{10}{x_0} \qquad\text{i}\qquad y_0=\frac5{2y_0},$$

odakle slijedi

$$x_0=\pm\sqrt{10},\qquad y_0=\pm\frac{\sqrt{10}}2.$$

Zaključujemo da postoje četiri takve tangente, a njihove jednadžbe su

$$x-2y+2\sqrt{10}=0, \qquad x+2y-2\sqrt{10}=0,$$ $$x-2y-2\sqrt{10}=0, \qquad x+2y+2\sqrt{10}=0.$$

Ove tangente određuju romb kojemu je površina jednaka

$$P=4\cdot\frac12\cdot\left|\frac{20}{x_0}\right| \cdot\left|\frac5{y_0}\right| =40.$$

Drugo rješenje.

Jednadžba tangente je oblika $y=kx+l$. Sjecišta tangente s koordinatnim osima su

$$M\left(-\frac lk,0\right),\qquad N(0,l).$$

Koordinate polovišta su

$$P\left(-\frac l{2k},\frac l2\right).$$

Koordinate dirališta tangente elipse su

$$\left(-\frac{a^2k}{l},\frac{b^2}{l}\right).$$

Izjednačimo li koordinate polovišta i koordinate dirališta, dobivamo

$$\frac l2=\frac{b^2}{l} \quad\Longrightarrow\quad l^2=2b^2=2\cdot5=10 \quad\Longrightarrow\quad l=\pm\sqrt{10},$$

te

$$-\frac l{2k}=-\frac{a^2k}{l} \quad\Longrightarrow\quad 2k^2a^2=l^2 \quad\Longrightarrow\quad k^2=\frac{l^2}{2a^2}=\frac{10}{40}=\frac14,$$

pa je $k=\pm\frac12$.

Jednadžbe tangenti su

$$y=\frac12x+\sqrt{10},\qquad y=-\frac12x+\sqrt{10},$$ $$y=\frac12x-\sqrt{10},\qquad y=-\frac12x-\sqrt{10}.$$

Površina dobivenog romba je

$$P=4\cdot\frac12\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=40.$$