7. Zadatak

Napišimo broj $c$ u pogodnom obliku:

$$c=(a+bi)^3-7i =a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i-7i.$$

Izjednačimo realne te imaginarne dijelove:

$$\begin{cases} c=a^3-3ab^2,\\ 0=3a^2b-b^3-7, \end{cases}$$

odnosno

$$\begin{cases} a(a^2-3b^2)=c,\\ b(3a^2-b^2)=7. \end{cases}$$

Sada imamo četiri mogućnosti:

1° $b=1,\ 3a^2-b^2=7$. Tada je $3a^2=8$, pa ova jednadžba nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

2° $b=-1,\ 3a^2-b^2=-7$. Tada je $3a^2=-6$, pa ova jednadžba nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

3° $b=7,\ 3a^2-b^2=1$. Tada je $3a^2=50$, pa ova jednadžba nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

4° $b=-7,\ 3a^2-b^2=-1$. Tada je $3a^2=48$, odnosno $a^2=16$, pa je $a=\pm4$.

Vrijedi

$$c=\pm4(16-3\cdot49),$$

pa su $c_1=-524,\ c_2=524$.

Rješenja su

$$(a,b,c)=(4,-7,-524) \qquad\text{ili}\qquad (a,b,c)=(-4,-7,524).$$