8. Zadatak

Ako je $a-b=b-c\ge0$, onda je $b=\frac{a+c}{2}$ i srednji po veličini je kut $\beta$. Iz poučka o kosinusu slijedi

$$\begin{aligned} \cos\beta &=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ &=\frac{a^2+c^2-\left(\frac{a+c}{2}\right)^2}{2ac}\\ &=\frac{4a^2+4c^2-a^2-2ac-c^2}{8ac}\\ &=\frac{3a^2+3c^2-2ac}{8ac}\\ &=\frac{3(a^2-2ac+c^2)+4ac}{8ac}\\ &=\frac{3(a-c)^2}{8ac}+\frac12. \end{aligned}$$

Prvi pribrojnik je uvijek nenegativan pa je $\cos\beta\ge\frac12$, tj. $\beta\le60^\circ$.

Jednakost vrijedi jedino za $a=b=c$, tj. za jednakostraničan trokut.