5. Zadatak

Neka je polazna točka ishodište. Kretanje i položaj prvih nekoliko dana turneje određeno je točkama $A_1,A_2,A_3,\ldots$

$n$ (dan)	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	$\ldots$	39.	40.
km	$\frac{1^2}{2}$	$\frac{2^2}{2}$	$\frac{3^2}{2}$	$\frac{4^2}{2}$	$\frac{5^2}{2}$	$\frac{6^2}{2}$	$\frac{7^2}{2}$	$\frac{8^2}{2}$	$\ldots$	$\frac{39^2}{2}$	$\frac{40^2}{2}$
Smjer	I	S	Z	J	I	S	Z	J	$\ldots$	Z	J
Kvadrant	os $x$	1	2	3	4	1	2	3	$\ldots$	2	3

Zaključujemo da će 40.-tog dana položaj Marka biti u trećem kvadrantu u točki $A_{40}(x,y)$. Pri tome je

$$\begin{aligned} x&=\frac{1^2}{2}-\frac{3^2}{2}+\frac{5^2}{2}-\frac{7^2}{2}+\cdots+\frac{37^2}{2}-\frac{39^2}{2}\\ &=\frac12\big((1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+\cdots+(37-39)(37+39)\big)\\ &=-1\big(1+3+\cdots+37+39\big)=-\frac{(1+39)\cdot20}{2}=-400, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} y&=\frac{2^2}{2}-\frac{4^2}{2}+\frac{6^2}{2}-\frac{8^2}{2}+\cdots+\frac{38^2}{2}-\frac{40^2}{2}\\ &=\frac12\big((2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)+\cdots+(38-40)(38+40)\big)\\ &=-1\big(2+4+\cdots+38+40\big)=-\frac{(2+40)\cdot20}{2}=-420. \end{aligned}$$

Udaljenost Marka od polazne točke jednaka je udaljenosti točke $A_{40}$ od ishodišta i iznosi

$$d=\sqrt{400^2+420^2}=580.$$

Tražena je udaljenost 580 km.