4. Zadatak

Duljina stranice pravilnog šesterokuta jednaka je polumjeru kruga kojemu je šesterokut upisan, odnosno $|DC|=r$.

Polumjer opisane kružnice jednakostraničnom trokutu je

$$r=\frac{|AB|\sqrt3}{3}\quad\Longrightarrow\quad |AB|=r\sqrt3.$$

Neka okomica iz $S$ na $CD$ siječe $CD$ u $F$, a $AB$ u $E$.

Visina jednakostraničnog trokuta je

$$|EH|=\frac{|AB|\sqrt3}{2}=\frac32r.$$

Visina karakterističnog trokuta u šesterokutu je

$$|SF|=\frac{r\sqrt3}{2}.$$

Visina trapeza je

$$|EF|=|SF|-\frac13|EH|=\frac r2(\sqrt3-1)$$

pa je

$$\begin{aligned} |AD|=|BC|&=\sqrt{\left(\frac{|AB|-|DC|}{2}\right)^2+|EF|^2}\\ &=\sqrt{\left(\frac{r\sqrt3-r}{2}\right)^2+\frac{r^2}{4}(\sqrt3-1)^2}\\ &=\frac{r(\sqrt3-1)\sqrt2}{2}. \end{aligned}$$

Opseg trapeza je

$$o=|AB|+|DC|+2|AD|=r(\sqrt3+1+\sqrt6-\sqrt2).$$

Površina trapeza je

$$P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot|EF| =\frac{r\sqrt3+r}{2}\cdot\frac r2(\sqrt3-1) =\frac{r^2}{2}.$$