3. Zadatak

Neka je

$x$ – vrijeme (u minutama) potrebno da prva pumpa sama napuni bazen

$y$ – vrijeme (u minutama) potrebno da druga pumpa sama napuni bazen

$V$ – količina vode koja stane u bazen

Tada je $\frac Vx$ količina vode kojom prva pumpa napuni bazen u jednoj minuti, a $\frac Vy$ količina vode kojom druga pumpa napuni bazen u jednoj minuti. Iz uvjeta u zadatku slijedi sustav jednadžbi:

$$\begin{cases} 20\cdot\left(\frac Vx+\frac Vy\right)=V-1000,\\ 70\cdot\left(\frac Vx+\frac Vy\right)=V+250,\\ 2\cdot\frac Vx=3\cdot\frac Vy. \end{cases}$$

Iz posljednje jednadžbe slijedi

$$\frac Vx=\frac32\cdot\frac Vy,\qquad\text{odnosno}\qquad x=\frac{2y}{3}$$

pa sustav prelazi u

$$\begin{cases} 20\cdot\left(\frac52\cdot\frac Vy\right)=V-1000,\\ 70\cdot\left(\frac52\cdot\frac Vy\right)=V+250, \end{cases}$$

odnosno

$$\begin{cases} 50\cdot\frac Vy=V-1000,\\ 175\cdot\frac Vy=V+250. \end{cases}$$

Podijelimo li ove dvije jednadžbe dobivamo

$$\frac27=\frac{V-1000}{V+250},$$

odnosno

$$7V-7000=2V+500,$$ $$V=1500\ \text{l}.$$

Tada je

$$50\cdot\frac{1500}{y}=500$$

pa je vrijeme potrebno da druga pumpa sama napuni bazen $y=150\ \text{min}$.

Vrijeme prve pumpe je

$$x=\frac{2y}{3}=100\ \text{min}.$$