4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ ($a\geq b$) duljine stranica, $e$ i $f$ ($e\geq f$) duljine dijagonala paralelograma $ABCD$. Šiljasti kut između stranica $a$ i $b$ označimo s $\alpha$.

Po poučku o kosinusu je

$$e^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha,\qquad f^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha.$$ $$ef=\sqrt{(a^2+b^2)^2-(2ab\cos\alpha)^2}=\sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2\cos^2\alpha}.$$

Kako je $\cos^2\alpha<1$, izraz $-4a^2b^2\cos^2\alpha>-4a^2b^2$, pa je

$$a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2\cos^2\alpha>a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2,$$

te vrijedi

$$ef>\sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4-4a^2b^2}=\sqrt{(a^2-b^2)^2}=a^2-b^2.$$

Drugo rješenje.

Neka su $a,b$ duljine stranica paralelograma i neka je $a\geq b$, duljina veće dijagonale neka je $e$, a manje $f$, te neka je $\varphi$ šiljasti kut između dijagonala.

U trokutu $ABS$ vrijedi:

$$a^2=\left(\frac e2\right)^2+\left(\frac f2\right)^2-2\cdot\frac e2\cdot\frac f2\cos(\pi-\varphi).$$

U trokutu $BCS$ vrijedi:

$$b^2=\left(\frac e2\right)^2+\left(\frac f2\right)^2-2\cdot\frac e2\cdot\frac f2\cos\varphi.$$

Kako je $\cos(\pi-\varphi)=-\cos\varphi$, oduzimanjem gornjih jednakosti imamo:

$$a^2-b^2=ef\cos\varphi.$$

Kut $\varphi$ je šiljasti, pa je $0<\cos\varphi<1$ što nam daje

$$a^2-b^2<ef,$$

što smo i trebali dobiti.