8. Zadatak

Ako su $a$ i $b$ duljine kateta, $c$ duljina hipotenuze, a $t_a$, $t_b$ i $t_c$ duljine težišnica pravokutnog trokuta (v. sliku), onda je

$$t_a^2=b^2+\left(\frac a2\right)^2,\qquad t_b^2=a^2+\left(\frac b2\right)^2.$$

Kako je središte opisane kružnice pravokutnom trokutu u polovištu hipotenuze, vrijedi

$$t_c=R=\frac c2,$$

odnosno

$$t_c^2=\left(\frac c2\right)^2.$$

Pretpostavimo da su $t_a$, $t_b$ i $t_c$ duljine stranica nekog pravokutnog trokuta. Tada je ili $t_a$ ili $t_b$ najveća stranica ili hipotenuza. Neka je to $t_b$. Tada vrijedi

$$t_b^2=t_a^2+t_c^2.$$

Uvrštavanjem prije dobivenih izraza za kvadrate težišnica u gornju formulu, dobivamo da je

$$a^2+\frac{b^2}{4}=b^2+\frac{a^2}{4}+\frac{c^2}{4},$$

odnosno

$$3a^2=3b^2+c^2.$$

Kako je $a^2+b^2=c^2$, slijedi da je $a^2=2b^2$, odnosno $a=\sqrt2\cdot b$. Ako je $b$ racionalan, $a$ je iracionalan i obratno.

Analogno bi dobili da je $t_a$ hipotenuza, dok ako je $t_c$ hipotenuza, istim postupkom dobivamo da je $c^2=5(a^2+b^2)$ što je nemoguće.