2. Zadatak

Marina je u žurbi upisala u tablicu $5\times5$ samo neke od brojeva koje je trebala upisati. Zbunjeno je prijateljici objasnila da će lako kasnije popuniti tablicu jer su brojevi u svakom retku i svakom stupcu poredani tako da čine 5 uzastopnih članova aritmetičkog niza. Popunite tablicu brojevima koje Marina nije upisala.



	31
11
		27

Rješenje

Označimo razliku aritmetičkog niza iz prvog stupca s $d_1$ , razliku aritmetičkog niza iz petog retka s $d_2$ te s $x$ i $y$ polja u tablici kao na slici:

3

$3+2d_1$	$y$	31
	11
$x$	$27-3d_2$		27

Broj $x$ je peti član aritmetičkog niza u prvom stupcu i prvi član aritmetičkog niza u petom retku. Stoga je

x=3+4d_1,\qquad x=27-4d_2.

Tada je

3+4d_1=27-4d_2,

iz čega slijedi da je $d_1+d_2=6$ .

U trećem retku, brojevi $3+2d_1$ , $y$ , $31$ su tri uzastopna člana aritmetičkog niza, pa vrijedi

2y=3+2d_1+31,

odnosno $y=17+d_1$ .

Isto vrijedi i za brojeve $y$ , $11$ i $27-3d_2$ u drugom stupcu, pa imamo

2\cdot11=y+27-3d_2,

iz čega slijedi $y=-5+3d_2$ . Sada vidimo da je

17+d_1=-5+3d_2,

odnosno $-d_1+3d_2=22$ , pa dobivamo sustav jednadžbi

\begin{aligned} d_1+d_2&=6,\\ -d_1+3d_2&=22. \end{aligned}

Zbrajanjem jednadžbi dobivamo $4d_2=28$ , pa je $d_2=7$ , a onda je $d_1=6-7=-1$ . Zaključujemo da je $x=-1$ , $y=16$ te se sada tablica može lako popuniti:

3	26	49	72	95
2	21	40	59	78
1	16	31	46	61
0	11	22	33	44
-1	6	13	20	27