3. Zadatak

Uvrštavanjem $x=t$ i $x=\frac1t$ u zadanu funkcijsku jednadžbu dobivamo sustav:

$$\begin{aligned} (t-1)f(t)+f\left(\frac1t\right)&=\frac1{t-1},\\ f(t)+\left(\frac1t-1\right)f\left(\frac1t\right)&=\frac1{\frac1t-1}=\frac{t}{1-t}. \end{aligned}$$

Množenjem prve jednadžbe s $1-\frac1t$ i zbrajanjem s drugom imamo:

$$\begin{aligned} \left[(t-1)\left(1-\frac1t\right)+1\right]f(t)&=\frac1{t-1}\left(1-\frac1t\right)+\frac{t}{1-t},\\ \left(t-1-1+\frac1t+1\right)f(t)&=\frac1{t-1}\cdot\frac{t-1}{t}+\frac{t}{1-t},\\ \frac{t^2-t+1}{t}f(t)&=\frac1t+\frac{t}{1-t},\\ \frac{t^2-t+1}{t}f(t)&=\frac{1-t+t^2}{t(1-t)},\\ f(t)&=\frac1{1-t}. \end{aligned}$$

Sada računamo redom kompozicije:

$$\begin{aligned} f^2(x)=(f\circ f)(x)&=\frac1{1-\frac1{1-x}}=\frac{x-1}{x}=1-\frac1x,\\ f^3(x)&=\frac1{1-1+\frac1x}=x,\\ f^4(x)&=\frac1{1-x}=f(x). \end{aligned}$$

Očito će se ove tri funkcije ponavljati pri računanju kompozicije $f^n(x)$ ovisno o ostatku pri dijeljenju broja $n$ s $3$. Za $n=2018$ ostatak je $2$, pa je

$$f^{2018}(2018)=f^2(2018)=\frac{2018-1}{2018}=\frac{2017}{2018}.$$