1. Zadatak

Označimo

$$1+3+9+\cdots+3^m=k,\qquad 1^2+3^2+9^2+\cdots+(3^m)^2=p.$$

Odredimo brojeve $k$ i $p$. Oba broja predstavljaju zbroj prvih $m+1$ članova geometrijskog niza, pa je

$$k=1\cdot\frac{3^{m+1}-1}{3-1}=\frac{3^{m+1}-1}{2},$$ $$p=1^2\cdot\frac{(3^2)^{m+1}-1}{3^2-1}=\frac{3^{2m+2}-1}{8}.$$

Želimo dokazati da je zbroj prvih $k$ prirodnih brojeva jednak $p$. Ako je $S_k$ zbroj prvih $k$ prirodnih brojeva, vrijedi

$$\begin{aligned} S_k&=\frac12k(k+1)\\ &=\frac12\cdot\frac{3^{m+1}-1}{2}\cdot\left(\frac{3^{m+1}-1}{2}+1\right)\\ &=\frac12\cdot\frac{3^{m+1}-1}{2}\cdot\frac{3^{m+1}+1}{2}\\ &=\frac{3^{2m+2}-1}{8}, \end{aligned}$$

što je i trebalo dokazati.