3. Zadatak

Točke $E$ , $F$ , $G$ su redom polovišta stranica $\overline{CD}$ , $\overline{DA}$ , $\overline{AB}$ paralelograma $ABCD$ . Kružnica opisana trokutu $DEF$ dira stranicu $\overline{AB}$ u točki $G$ . Nađi omjer duljina stranica danog paralelograma $(|AB|:|AD|)$ .

Rješenje

Prvo rješenje.

Neka je $\angle BAD=\alpha$ , $|AB|=a$ , $|AD|=b$ . Vrijedi, $\angle EGB=\alpha$ , $\angle ADE=\pi-\alpha$ . Četverokut $DFGE$ je tetivan, $\angle FGE=\alpha$ , te je $\angle AGF=\pi-2\alpha$ . Zato je $\angle GFA=\alpha$ . Trokut $AGF$ je jednakokračan i $|AG|=|FG|$ . Budući da je kut između tetive $\overline{EG}$ i tangente $AB$ jednak obodnom kutu nad tetivom, slijedi $\angle EFG=\alpha$ . Stoga je i trokut $EFG$ jednakokračan pa su trokuti $EFG$ i $GAF$ slični.

Paralelogram s kružnicom i označenim kutovima.

Odavde slijedi $\frac{|EG|}{|FG|}=\frac{|AG|}{|AF|},\quad\text{tj.}\quad\frac b{\frac a2}=\frac{\frac a2}{\frac b2}\quad\text{i}\quad\frac ab=\sqrt2.$

Drugo rješenje.

Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $DEF$ , a $r$ njezin polumjer. $O$ leži na simetralama stranica trokuta. Kako kružnica dira $\overline{AB}$ u $G$ , središte $O$ leži i na okomici na $AB$ kroz točku $G$ . Zaključujemo da se ta okomica podudara sa simetralom dužine $\overline{DE}$ . Neka je $H$ polovište dužine $\overline{DF}$ . Tada je $HO$ okomito na $AD$ .

Paralelogram s okomicama OG i OH.

Iz pravokutnih trokuta $AGO$ i $AHO$ izrazimo $|AO|$ : $|AO|^2=|AG|^2+|OG|^2=|AH|^2+|HO|^2$ $\Rightarrow\quad\left(\frac a2\right)^2+r^2=\left(\frac34b\right)^2+|HO|^2.$ Duljinu $|HO|$ izrazit ćemo iz pravokutnog trokuta $FHO$ : $|HO|^2=|FO|^2-|FH|^2=r^2-\left(\frac b4\right)^2.$ Sada imamo: $\left(\frac a2\right)^2+r^2=\left(\frac34b\right)^2+r^2-\left(\frac b4\right)^2,$ odakle slijedi $a^2=2b^2$ , tj. $|AB|:|AD|=a:b=\sqrt2$ .

Treće rješenje.

Brže je rješenje pomoću potencije točke u odnosu na kružnicu. Naime vrijedi, $|AF|\cdot|AD|=|AG|^2$ odakle dobivamo $\frac b2\cdot b=\left(\frac a2\right)^2$ tj. $\frac ab=\sqrt2$ .