4. Zadatak

Prvo rješenje.

Sa $P$ označimo površinu paralelograma $ABCD$. Kako je $2|CP|=|BC|$ i $2|CQ|=|CD|$ i $\angle PCQ=\angle BCD$, onda je

$$P_{\triangle PCQ}=\frac14P_{\triangle BCD}=\frac18P.$$

Kako je $2|BP|=|BC|$ i $\angle ABC=\angle ABP$, onda je

$$P_{\triangle ABP}=\frac12P_{\triangle ABC}=\frac14P.$$

Kako je $2|DQ|=|CD|$ i $\angle CDA=\angle QDA$, onda je

$$P_{\triangle QDA}=\frac12P_{\triangle ACD}=\frac14P.$$

Sada je

$$P_{\triangle APQ}=P-P_{\triangle ABP}-P_{\triangle AQD}-P_{\triangle PCQ}=P-\frac14P-\frac14P-\frac18P=\frac38P.$$

Drugo rješenje. Analitička geometrija.

Smjestimo paralelogram u pravokutni koordinatni sustav tako da vrhovi paralelograma imaju sljedeće koordinate: $A=(0,0)$, $B=(a,0)$, $C=(a+x,v)$, $D=(x,v)$.

Tada polovišta imaju koordinate $P=\left(a+\frac{x}{2},\frac{v}{2}\right)$, $Q=\left(\frac{a}{2}+x,v\right)$.

Tada površina trokuta $APQ$ iznosi

$$P_{\triangle APQ}=\frac12\left|0\cdot\left(\frac{v}{2}-v\right)+\left(a+\frac{x}{2}\right)\cdot v+\left(\frac{a}{2}+x\right)\cdot\left(-\frac{v}{2}\right)\right|=\frac38av=\frac38P.$$