5. Zadatak
U kutiji se nalaze kuglice označene brojevima od 1 do 10. Petar izvlači po jednu kuglicu te na ploči zapisuje zbroj broja na kuglici i rednog broja izvlačenja. Dokažite da nakon izvlačenja svih kuglica, među brojevima zapisanim na ploči postoje barem dva broja kojima su zadnje znamenke jednake.
Rješenje
Na ploči je zapisano 10 brojeva. Dobiveni su zbrajanjem dva broja od kojih je svaki iz skupa . Njihov zbroj je jednak:
Kada bi svaki od zapisanih brojeva završavao različitim znamenkama, te znamenke bi bile . U tom slučaju pri zbrajanju svih takvih brojeva dobili bismo , tj. kao zadnju znamenku zbroja svih brojeva na ploči dobili bismo broj 5, a to je kontradikcija s činjenicom da je zbroj brojeva na ploči 110.
Zaključujemo da ne mogu svi zapisani brojevi imati različite znamenke, tj. kod barem dva od njih se zadnje znamenke podudaraju.