5. Zadatak

Prvo rješenje.

Koristit ćemo oznaku $P(XYZ)$ za površinu trokuta $XYZ$ i $P(XYZW)$ za površinu četverokuta $XYZW$.

Na početku uočimo da je $P(ABCD)=|AB|\cdot|BC|=20$.

Kako je $P(EBC)=P(FCD)=\frac14P(ABCD)$, imamo $$\frac12P(APB)+P(BPC)=\frac14P(ABCD)=5,\qquad(1)$$ i $$\frac12P(BPC)+P(CPD)=\frac14P(ABCD)=5.\qquad(2)$$

Vrijedi i $$P(APB)+P(CPD)=\frac12P(ABCD)=10.\qquad(3)$$ Iz (1), (2) i (3) dobivamo $$P(APB)=6,\quad P(BPC)=2,\quad P(CPD)=4.$$ Odavde slijedi $$P(DPA)=P(ABCD)-P(APB)-P(BPC)-P(CPD)=8.$$

Drugo rješenje.

Iz točke $P$ spustimo okomice $\overline{PM}$ i $\overline{PN}$ na stranice $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ redom.

Neka je $|PM|=m$ i $|PN|=n$, tada je $|BM|=4-n$, $|CM|=n$, $|CN|=m$, $|DN|=5-m$.

Promotrimo parove sličnih trokuta.

Iz $\triangle PMC\sim\triangle EBC$ imamo $$|PM|:|MC|=|EB|:|BC|,\quad\text{odnosno }m:n=\frac52:4.$$ Iz $\triangle DNP\sim\triangle DCF$ dobivamo $$|DN|:|NP|=|DC|:|CF|,\quad\text{odnosno }(5-m):n=5:2.$$ Odavde slijedi $$m=\frac58n,\qquad5-m=\frac52n$$ odnosno $m=1$, $n=\frac85$.

Konačno, $$\begin{aligned} P(ABP)&=\frac12\cdot|AB|\cdot|MB|=\frac12\cdot5\cdot(4-n)=\frac12\cdot5\cdot\frac{12}5=6,\\ P(BCP)&=\frac12\cdot|BC|\cdot|PM|=\frac12\cdot4\cdot m=\frac12\cdot4\cdot1=2,\\ P(CDP)&=\frac12\cdot|CD|\cdot|PN|=\frac12\cdot5\cdot n=\frac12\cdot5\cdot\frac85=4,\\ P(DAP)&=\frac12\cdot|DA|\cdot|ND|=\frac12\cdot4\cdot(5-m)=\frac12\cdot4\cdot4=8. \end{aligned}$$

Treće rješenje.

Postavimo pravokutnik u kartezijev koordinatni sustav tako da točka $A$ bude ishodište.

Imamo sljedeće točke: $A(0,0)$, $B(5,0)$, $C(5,4)$, $D(0,4)$, $E\left(\frac52,0\right)$, $F(5,2)$.

Jednadžba pravca $FD$ je $y-2=-\frac25(x-5)$.

Jednadžba pravca $EC$ je $y-4=\frac85(x-5)$.

Nađimo sjecište $P$ pravaca $FD$ i $EC$: $-\frac25x+4=\frac85x-4$, odakle je $x=4$, a onda, uvrštavanjem u bilo koju od gornje dvije jednadžbe, i $y=\frac{12}5$.

Sada je $P(APB)=\frac{5\cdot\frac{12}5}{2}=6$, $P(BPC)=\frac{4\cdot1}{2}=2$, $P(CPD)=\frac{5\cdot\frac85}{2}=4$ i $P(DPA)=\frac{4\cdot4}{2}=8$.