4. Zadatak

Predznak izraza $|x+2|$ različit je lijevo i desno od točke $x=-2$.

(a) Neka je $x<-2$: $$\begin{aligned} |-x-2-2x|&=\frac{x+3}{2},\\ |3x+2|&=\frac{x+3}{2}, \end{aligned}$$ Izraz $3x+2$ negativan je na ovom intervalu. Tako dobivamo $$\begin{aligned} -3x-2&=\frac{x+3}{2},\\ x&=-1. \end{aligned}$$ Ovaj broj ne pripada intervalu, pa jednadžba nema rješenja za $x<-2$.

(b) Neka je $x\geq-2$. $$\begin{aligned} |x+2-2x|&=\frac{x+3}{2},\\ |x-2|&=\frac{x+3}{2}. \end{aligned}$$ Zbog promjene predznaka izraza $x-2$, ovaj interval dijelimo na dva dijela:

(b1) $-2\leq x<2$. Tu je $|x-2|=-x+2$ pa imamo $$\begin{aligned} -x+2&=\frac{x+3}{2},\\ x&=\frac13. \end{aligned}$$ Broj pripada intervalu pa predstavlja rješenje jednadžbe.

(b2) $2\leq x$. Tu je $|x-2|=x-2$ pa imamo $$\begin{aligned} x-2&=\frac{x+3}{2},\\ x&=7. \end{aligned}$$ Broj pripada intervalu pa predstavlja rješenje.

Rješenja jednadžbe su $x=\frac13$ i $x=7$.

Napomena 2. Ukoliko se u slučaju (a) ne uoči da je izraz $3x+2$ uvijek negativan i pretpostavi da može biti i $|3x+2|=3x+2$, dobit će se $x=-\frac15$ što nije rješenje jednadžbe.