3. Zadatak

Iz uvjeta zadatka slijedi da postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $5777=a\cdot n+20$ i $8924=b\cdot n+36$. Odavde dobivamo $a\cdot n=5757$ i $b\cdot n=8888$. Oduzmemo li prethodne dvije jednakosti dobivamo $(b-a)n=3131=101\cdot31$.

Uočimo da je $n$ prirodan broj veći od 36 (djelitelj je uvijek veći od ostatka), koji dijeli 3131. Brojevi 101 i 31 su prosti, pa su jedini djelitelji broja 3131 brojevi 1, 31, 101 i 3131. Uz to, $n$ mora dijeliti i brojeve 5757 i 8888, pa vidimo da $n$ može biti samo 101.

Napomena. Učenik može doći do rješenja, promatranjem faktorizacija brojeva 5757 i 8888: $$\begin{aligned} a\cdot n=5757&=57\cdot101=3\cdot19\cdot101,\\ b\cdot n=8888&=8\cdot1111=8\cdot11\cdot101. \end{aligned}$$ Broj 101 jedini je zajednički faktor ovih brojeva veći od 1, pa je taj broj rješenje zadatka.