2. Zadatak

Kako je

$$\begin{aligned}1+\sin2x&=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin x+\cos x)^2,\\1-\sin2x&=(\sin x-\cos x)^2,\end{aligned}$$

nejednakost prelazi u

$$\bigl||\sin x+\cos x|-|\sin x-\cos x|\bigr|\leq\sqrt2.\tag{*}$$

Izraz s lijeve strane je jednak $2|\sin x|$ ili $2|\cos x|$. Zbog periodičnosti funkcija $\sin$ i $\cos$ dovoljno je promatrati $x\in[0,2\pi]$. Moramo promatrati sljedeća četiri slučaja.

$1^\circ$ Za $x\in\left[0,\frac\pi4\right)\cup\left(\frac{7\pi}4,2\pi\right]$ vrijedi $|\sin x|<\frac{\sqrt2}{2}<\cos x$, pa je $\sin x+\cos x>0$ i $\sin x-\cos x<0$, te $(*)$ postaje

$$|\sin x|\leq\frac{\sqrt2}{2},$$

što je zadovoljeno za svaki broj $x$ iz promatranog intervala.

$2^\circ$ Za $x\in\left[\frac\pi4,\frac{3\pi}4\right]$ vrijedi $|\cos x|\leq\frac{\sqrt2}{2}\leq\sin x$, pa je $\sin x+\cos x\geq0$ i $\sin x-\cos x\geq0$, i $(*)$ postaje

$$|\cos x|\leq\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ovu nejednakost zadovoljavaju sve točke iz promatranog intervala.

$3^\circ$ Za $x\in\left(\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4\right)$ vrijedi $|\sin x|<\frac{\sqrt2}{2}<-\cos x$, pa je $\sin x+\cos x<0$ i $\sin x-\cos x>0$, i $(*)$ postaje

$$|\sin x|\leq\frac{\sqrt2}{2}.$$

Zadovoljavaju sve točke iz ovog intervala.

$4^\circ$ Za $x\in\left[\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\right]$ vrijedi $|\cos x|\leq\frac{\sqrt2}{2}\leq-\sin x$, pa je $\sin x+\cos x\leq0$ i $\sin x-\cos x\leq0$, i $(*)$ postaje

$$|\cos x|\leq\frac{\sqrt2}{2}.$$

Zadovoljavaju sve točke iz ovog intervala.

Dakle, nejednakost je zadovoljena za svako $x\in[0,2\pi]$ pa i za svako $x\in\mathbb R$.