2. Zadatak

Dokaz provodimo matematičkom indukcijom.

$1^\circ$ Baza indukcije. Za $n=1$ je $\frac1{\sqrt1}=\sqrt1$.

$2^\circ$ Korak indukcije. Pretpostavimo da za neki $n\geq1$ vrijedi dana nejednakost. Tada je

$$\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{\sqrt k}=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{n+1}}\geq\sqrt n+\frac1{\sqrt{n+1}}\geq\sqrt{n+1}.\tag{*}$$

Zadnja nejednakost vrijedi ako i samo ako je $\sqrt{n(n+1)}+1\geq n+1$, tj. $\sqrt{n(n+1)}\geq n$. Kako je ova nejednakost ispunjena, vrijedi i nejednakost $(*)$