8. Zadatak

Vrijedi da je $\angle TDS_1=90^\circ$ (tangenta) i $\angle TEF=90^\circ$ (kut nad promjerom kružnice) pa su trokuti $TDS_1$ i $TEF$ slični.

Vrijedi da je $|TS_1|=6$ cm, $|TF|=8$ cm i $|S_1D|=2$ cm. Zbog sličnosti trokuta je $|TS_1|:|TF|=|S_1D|:|EF|$ pa je $6:8=2:|EF|$, tj. $|EF|=\frac83$.

Sada je $|TE|=\sqrt{|TF|^2-|EF|^2}=\sqrt{64-\frac{64}9}=\frac{16\sqrt2}3$.

Po Pitagorinom poučku slijedi

$$|TD|=\sqrt{|TS_1|^2-|S_1D|^2}=\sqrt{36-4}=4\sqrt2.$$

Sada je

$$|S_1E|=\sqrt{|S_1D|^2+|DE|^2}=\sqrt{4+\left(\frac{16\sqrt2}3-4\sqrt2\right)^2}=\sqrt{\frac{68}9}=\frac{2\sqrt{17}}3.$$

Opseg trokuta je $o=6+\frac{2\sqrt{17}}3+\frac{16\sqrt2}3$ cm.